Kapitola 2 - Pravděpodobnost¶

Rozdělení jevů¶

Pozorované jevy lze rozdělit do tří skupin:

a) Jevy jisté: jevy, které určitě nastanou, je-li splněna jistá množina podmínek.

b) Jevy nemožné: jevy, které určitě nenastanou, je-li splněna jistá množina podmínek.

c) Jevy náhodné: jevy, které při splnění jisté množiny podmínek buď nastanou nebo nenastanou.

Náhodný pokus¶

Náhodný jev je výsledkem náhodného pokusu.

Jev jako množina¶

Jevy lze považovat za podmnožiny základní množiny \(Z\), což je množina všech možných výsledků určitého pokusu.
Jistému jevu odpovídá množina \(Z\) sama.
Nemožnému jevu odpovídá prázdná množina \(\emptyset\).
O možných výsledcích (tj. o jednotlivých prvcích \(Z\)) budeme mluvit jako o elementárních jevech.

Vztahy mezi jevy¶

Je-li \(A \subset B\), říkáme, že jev \(A\) je podjevem jevu \(B\).
Jev \(A\cup B\) \(\ldots\) sjednocení
Jev \(A \cap B\) \(\ldots\) průnik
Jev \(A \setminus B\) \(\ldots\) rozdíl
Jev \(A'\), který nastává právě tehdy, když jev \(A\) nenastává, nazýváme jevem opačným k jevu \(A\).

Klasická definice pravděpodobnosti¶

Jestliže základní množina \(Z\) obsahuje konečný počet \(n\) prvků (tj. elementárních jevů), které považujeme za stejně možné, a jestliže jev \(A\) sestává z \(m\) prvků, potom pravděpodobnost jevu \(A\) se stanoví ze vztahu:

\[P(A)=\frac{m}{n}\]

Statistická definice pravděpodobnosti¶

Pokud bychom házeli kostkou, která není ideální, pak jednotlivé strany s oky (číslicemi) mohou padat s různou pravděpodobností. Tyto pravděpodobnosti můžeme určit tak, že provedeme velký počet hodů a poté relativní četnost např. šestek, tj. podíl

\[\frac{\textrm{počet padlých šestek}} {\textrm{celkový počet hodů}} \]

přijmeme za přibližnou hodnotu pravděpodobnosti hození šestky.

Obecně, hodnotu pravděpodobnosti jevu \(A\) určíme přibližně z relativní četnosti jevu \(A\) z dostatečně velkého počtu nezávislých pokusů, tj.

\[P(A) \approx \frac{m}{n}\]

kde \(m\) udává, kolikrát v \(n\) pokusech nastal jev \(A\).

Srovnání definic¶

Rovněž u házení ideální kostkou lze k pravděpo- dobnosti hodu například \(6\) dospět pomocí velkého počtu pokusů.

Pravděpodobnostní prostor¶

Uvažujme základní množinu \(Z\) a její systém podmnožin \(\mathscr{A}\) (systém jevů), který splňuje následující dvě vlastnosti:

a) \(A \in \mathscr{A} \Rightarrow A' \in \mathscr{A}\),

b) \(A_n \in \mathscr{A}\) pro \(n\in \mathbb{N}\) \(\Rightarrow\) \(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr{A}\),

Poté systém \(\mathscr{A}\) nazveme \(\sigma\)-algebrou.

Jestliže ke každému jevu \(A\in \mathscr{A}\) přiřadíme jeho jeho pravděpodobnost číslo \(P(A)\), pro nějž platí

\(P(A) \geq 0\)
pravděpodobnost sjednocení konečně nebo spočetně mnoha neslučitelných jevů \(A_1, A_2, \ldots \) je rovna součtu pravděpodobností těchto jevů, tj.

\[P(A_1\cup A_2\cup \ldots)= P(A_1)+P(A_2)+\ldots\]

pravděpodobnost jistého jevu \(Z\) je rovna \(1\), tj. \(P(Z) = 1\), pak uspořádanou trojici \((Z, \mathscr{A}, P)\) nazýváme pravděpodobnostní prostor.

Podmíněná pravděpodobnost¶

Podmíněnou pravděpodobnost jevu \(A\) za podmínky jevu \(B\) značíme \(P(A | B)\) a definujeme

\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B}{P(B)}.\]

Nezávislé jevy¶

Jev \(A\) nezávisí na jevu \(B\), jestliže \(P(A | B)=P(A)\).

Důsledky:

Jestliže jev \(A\) nezávisí na jevu \(B\), pak jev \(B\) nezávisí na jevu \(A\).
Pro nezávislé jevy \(A\) a \(B\) platí

\[P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=P(A)\cdot P(B).\]

Sčítání pravděpodobností¶

Již víme, že pravděpodobnost sjednocení konečně (nebo spočetně) mnoha neslučitelných jevů je rovna součtu pravděpodobností těchto jevů.
Pokud se však jevy \(A\) a \(B\) nevylučují, tak platí

\[P(A\cup B)= P(A)+P(B)- P(A\cap B)\]

Opakované pokusy¶

Provedeme několik pokusů. Jestliže pravděpodobnost jevu \(A\) při každém opakování nezávisí na výsledcích předchozích pokusů, nazveme tyto pokusy nezávislými pokusy vzhledem k jevu \(A\).

Obecně: má-li jev \(A\) v \(n\) nezávislých pokusech nastat právě \(x\)-krát, lze to učinit \(\displaystyle {n \choose x}\) kombinacemi. Proto

\[P(x)={n \choose x}\cdot p^x\cdot (1-p)^{n-x}.\]

Rozdělení pravděpodobnosti¶

Předpis, podle něhož jsou hodnotám nějaké proměnné přiřazeny pravděpodobnosti těchto hodnot, se nazývá rozdělení pravděpodobnosti.

Binomické rozdělení¶

Předpis

\[P(x)={n \choose x}\cdot p^x\cdot (1-p)^{n-x},\]

ke kterému jsme dospěli při opakovaných pokusech, se nazývá binomické rozdělení. Název je odvozen od toho, že výraz \(P(x)\) je vlastně \(x\)-tým členem binomického rozvoje:

\[\displaystyle [(1-p)+p]^n={n \choose 0} (1-p)^n p^0 + {n \choose 1} (1-p)^{n-1} p^1 +\ldots + {n \choose n} (1-p)^0 p^n =P(0)+P(1)+\ldots +P(n)\]

Přitom

\[\sum_{x=0}^n P(x)=\sum_{x=0}^n {n \choose x}p^x\cdot (1-p)^{n-x}=[(1-p)+p]^n=1.\]

Modus Binomického rozdělení¶

Hodnota \(x\), pro niž je pravděpodobnost \(P(x)\) maximální, se nazývá \(modus\), značíme \(\hat x\).
Pro binomické rozdělení s pravděpodobností \(p\) platí odhad

\[np +p-1 \leq \hat x \leq np+p\]

Jsou-li jeho krajní hodnoty celá čísla, jsou obě modusy. Nejsou-li obě celá čísla, pak mezi nimi leží právě jedno celé číslo, které je modusem.

Závislé pokusy¶

Závislé pokusy jsou takové pokusy, při nichž je pravděpodobnost nastoupení jevu v určitém pokusu závislá na výsledcích pokusů předcházejících.

Příkladem je několikatahový výběr, kdy vybraný prvek v jednom tahu nevracíme zpět a tak nemůže být v dalších tazích vybrán.

Hypergeometrické rozdělení¶

Uvažujme soubor \(N\) prvků, z nichž \(M\) vykazuje sledovaný znak a \(N-M\) prvků tento znak nemá.
Vybereme postupně \(n\) prvků, z nichž žádný nevracíme zpět. Hledáme pravděpodobnost, že vybereme právě \(x\) prvků se sledovaným znakem a \(n-x\) prvků, které znak nemají. Platí

\[P(x)=\frac{{M \choose x }\cdot {{N-M}\choose{n-x}} }{N \choose M}.\]

kde \(x\leq M, n-x \leq N-M, x\leq n\).

My sample book

Kapitola 2 - Pravděpodobnost

Obsah