{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Kapitola 2 - Pravděpodobnost "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Rozdělení jevů"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Pozorované jevy lze rozdělit do tří skupin: \n",
    "\n",
    "a) **Jevy jisté**: jevy, které určitě nastanou, je-li splněna jistá množina podmínek. \n",
    "\n",
    "b) **Jevy nemožné**: jevy, které určitě nenastanou, je-li splněna jistá množina podmínek. \n",
    "\n",
    "c) **Jevy náhodné**: jevy, které při splnění jisté množiny podmínek buď nastanou nebo nenastanou."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Náhodný pokus"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    " Náhodný jev je výsledkem **náhodného pokusu**."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Jev jako množina"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- Jevy lze považovat za podmnožiny základní množiny $Z$, což je množina všech možných výsledků určitého pokusu.\n",
    "\n",
    "- Jistému jevu odpovídá množina $Z$ sama.\n",
    "\n",
    "- Nemožnému jevu odpovídá prázdná množina $\\emptyset$. \n",
    "\n",
    "- O možných výsledcích (tj. o jednotlivých prvcích $Z$) budeme mluvit jako o elementárních jevech."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Vztahy mezi jevy"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- Je-li $A \\subset B$, říkáme, že jev $A$ je podjevem jevu $B$. \n",
    "\n",
    "- Jev $A\\cup B$ $\\ldots$ sjednocení \n",
    "\n",
    "- Jev $A \\cap B$ $\\ldots$ průnik \n",
    "\n",
    "- Jev $A \\setminus B$ $\\ldots$ rozdíl \n",
    "\n",
    "- Jev $A'$, který nastává právě tehdy, když jev $A$ nenastává, nazýváme jevem opačným k jevu $A$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Klasická definice pravděpodobnosti"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Jestliže základní množina $Z$ obsahuje konečný počet $n$ prvků (tj. elementárních jevů), které považujeme za stejně možné, a jestliže jev $A$ sestává z $m$ prvků, potom pravděpodobnost jevu $A$ se stanoví ze vztahu:\n",
    "\n",
    "$$P(A)=\\frac{m}{n}$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Statistická definice pravděpodobnosti"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Pokud bychom házeli kostkou, která není ideální, pak jednotlivé strany s oky (číslicemi) mohou padat s různou pravděpodobností. Tyto pravděpodobnosti můžeme určit tak, že provedeme velký počet hodů a poté relativní četnost např. šestek, tj. podíl \n",
    "\n",
    "$$\\frac{\\textrm{počet padlých šestek}} {\\textrm{celkový počet hodů}} $$\n",
    "\n",
    "\n",
    "přijmeme za přibližnou hodnotu pravděpodobnosti hození šestky."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Obecně, hodnotu pravděpodobnosti jevu $A$ určíme přibližně z relativní četnosti jevu $A$ z dostatečně velkého počtu nezávislých pokusů, tj. \n",
    "\n",
    "$$P(A) \\approx \\frac{m}{n}$$\n",
    "\n",
    "kde $m$ udává, kolikrát v $n$ pokusech nastal jev $A$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Srovnání definic"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Rovněž u házení ideální kostkou lze k pravděpo- dobnosti hodu například $6$ dospět pomocí velkého počtu pokusů."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Pravděpodobnostní prostor"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Uvažujme základní množinu $Z$ a její systém podmnožin $\\mathscr{A}$ (systém jevů), který splňuje následující dvě vlastnosti: \n",
    "\n",
    "a) $A \\in \\mathscr{A} \\Rightarrow A' \\in \\mathscr{A}$,\n",
    "\n",
    "b) $A_n \\in \\mathscr{A}$ pro $n\\in \\mathbb{N}$ $\\Rightarrow$ $\\bigcup_{i=1}^\\infty A_i \\in \\mathscr{A}$,\n",
    "\n",
    "Poté systém $\\mathscr{A}$ nazveme $\\sigma$-algebrou."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Jestliže ke každému jevu $A\\in \\mathscr{A}$ přiřadíme jeho jeho pravděpodobnost číslo $P(A)$, pro nějž platí \n",
    "\n",
    "1. $P(A) \\geq 0$\n",
    "\n",
    "2. pravděpodobnost sjednocení konečně nebo spočetně mnoha neslučitelných jevů $A_1, A_2, \\ldots $ je rovna součtu pravděpodobností těchto jevů, tj. \n",
    "\n",
    "$$P(A_1\\cup A_2\\cup \\ldots)= P(A_1)+P(A_2)+\\ldots$$\n",
    "\n",
    "3. pravděpodobnost jistého jevu $Z$ je rovna $1$, tj. $P(Z) = 1$, pak uspořádanou trojici $(Z, \\mathscr{A}, P)$ nazýváme pravděpodobnostní prostor."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Podmíněná pravděpodobnost"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Podmíněnou pravděpodobnost** jevu $A$ za podmínky jevu $B$ značíme  $P(A | B)$ a definujeme \n",
    "\n",
    "$$P(A|B)=\\frac{P(A\\cap B}{P(B)}.$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Nezávislé jevy"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Jev $A$ nezávisí na jevu $B$, jestliže $P(A | B)=P(A)$. \n",
    "\n",
    "Důsledky: \n",
    "\n",
    "1. Jestliže jev $A$ nezávisí na jevu $B$, pak jev $B$ nezávisí na jevu $A$. \n",
    "\n",
    "2. Pro nezávislé jevy $A$ a $B$ platí \n",
    "\n",
    "$$P(A\\cap B)=P(A|B)\\cdot P(B)=P(A)\\cdot P(B).$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Sčítání pravděpodobností"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- Již víme, že pravděpodobnost sjednocení konečně (nebo spočetně) mnoha neslučitelných jevů je rovna součtu pravděpodobností těchto jevů.\n",
    "\n",
    "- Pokud se však jevy  $A$ a $B$ nevylučují, tak platí \n",
    "\n",
    "$$P(A\\cup B)= P(A)+P(B)- P(A\\cap B)$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Opakované pokusy"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Provedeme několik pokusů. Jestliže pravděpodobnost jevu $A$ při každém opakování nezávisí na výsledcích předchozích pokusů, nazveme tyto pokusy nezávislými pokusy vzhledem k jevu $A$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Obecně:** má-li jev $A$ v $n$ nezávislých pokusech nastat právě $x$-krát, lze to učinit $\\displaystyle {n \\choose x}$ kombinacemi. Proto \n",
    "\n",
    "$$P(x)={n \\choose x}\\cdot p^x\\cdot (1-p)^{n-x}.$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Rozdělení pravděpodobnosti"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Předpis, podle něhož jsou hodnotám nějaké proměnné přiřazeny pravděpodobnosti těchto hodnot, se nazývá rozdělení pravděpodobnosti."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Binomické rozdělení"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Předpis\n",
    "\n",
    "$$P(x)={n \\choose x}\\cdot p^x\\cdot (1-p)^{n-x},$$ \n",
    "\n",
    "ke kterému jsme dospěli při opakovaných pokusech, se nazývá binomické rozdělení. Název je odvozen od toho, že výraz $P(x)$ je vlastně $x$-tým členem binomického rozvoje:\n",
    "\n",
    "$$\\displaystyle [(1-p)+p]^n={n \\choose 0} (1-p)^n p^0 + {n \\choose 1} (1-p)^{n-1} p^1 +\\ldots + {n \\choose n} (1-p)^0 p^n =P(0)+P(1)+\\ldots +P(n)$$\n",
    "\n",
    "\n",
    "Přitom \n",
    "\n",
    "$$\\sum_{x=0}^n P(x)=\\sum_{x=0}^n {n \\choose x}p^x\\cdot (1-p)^{n-x}=[(1-p)+p]^n=1.$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Modus Binomického rozdělení"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- Hodnota $x$, pro niž je pravděpodobnost $P(x)$ maximální, se nazývá $modus$, značíme $\\hat x$.\n",
    "\n",
    "- Pro binomické rozdělení s pravděpodobností $p$ platí odhad\n",
    "\n",
    "$$np +p-1 \\leq \\hat x \\leq np+p$$\n",
    "\n",
    "Jsou-li jeho krajní hodnoty celá čísla, jsou obě modusy. Nejsou-li obě celá čísla, pak mezi nimi leží právě jedno celé číslo, které je modusem."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Závislé pokusy"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Závislé pokusy** jsou takové pokusy, při nichž je pravděpodobnost nastoupení jevu v určitém pokusu závislá na výsledcích pokusů předcházejících. \n",
    "\n",
    "Příkladem je několikatahový výběr, kdy vybraný prvek v jednom tahu nevracíme zpět a tak nemůže být v dalších tazích vybrán."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Hypergeometrické rozdělení"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- Uvažujme soubor $N$ prvků, z nichž $M$ vykazuje sledovaný znak a $N-M$ prvků tento znak nemá.\n",
    "\n",
    "- Vybereme postupně $n$ prvků, z nichž žádný nevracíme zpět. Hledáme pravděpodobnost, že vybereme právě $x$ prvků se sledovaným znakem a $n-x$ prvků, které znak nemají. Platí \n",
    "\n",
    "$$P(x)=\\frac{{M \\choose x }\\cdot {{N-M}\\choose{n-x}} }{N \\choose M}.$$\n",
    "\n",
    "kde $x\\leq M, n-x \\leq N-M, x\\leq n$."
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Octave",
   "language": "octave",
   "name": "octave"
  },
  "language_info": {
   "file_extension": ".m",
   "help_links": [
    {
     "text": "GNU Octave",
     "url": "https://www.gnu.org/software/octave/support.html"
    },
    {
     "text": "Octave Kernel",
     "url": "https://github.com/Calysto/octave_kernel"
    },
    {
     "text": "MetaKernel Magics",
     "url": "https://metakernel.readthedocs.io/en/latest/source/README.html"
    }
   ],
   "mimetype": "text/x-octave",
   "name": "octave",
   "version": "7.0.0"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}