{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Kapitola 5 - Hypotézy a statistické testy"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Nulová a alternativní hypotéza"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Nulová hypotéza** je statistické tvrzení, že mezi zkoumanými proměnnými není vztah. \n",
    "\n",
    "Jestliže se při statistické analýze ukáže, že nulovou hypotézu je možné odmítnout, přijímáme tzv. **alternativní hypotézu**."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Statistické testy významnosti"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Statistické testy významnosti jsou postupy sloužící k ověření, zda mezi jevy je statisticky významný vztah.\n",
    "\n",
    "Pravděpodobnost, že neoprávněně odmítneme nulovou hypotézu (a tak nesprávně přijmeme alternativní), se nazývá hladina významnosti."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Test dobré shody chí-kvadrát"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- používá se pro analýzu nominálních dat\n",
    "\n",
    "- ověřuje se, zda četnosti získané v pedagogickém výzkumu se statisticky významně odlišují od teoretických četností"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "$120$ žáků jisté základní školy odpovídalo v dotazníku na otázku \"*Jakou čokoládu máš nejraději?*\" \n",
    "\n",
    "A) Hořkou \n",
    "\n",
    "B) Mléčnou \n",
    "\n",
    "C) Bílou \n",
    "\n",
    "Na základě testu dobré shody chí-kvadrát máme rozhodnout, zda mezi oblíbeností čokolád jsou statisticky významné rozdíly."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "| Čokoláda | Pozorovaná četnost $P$ | Očekávaná četnost $O$ | $$\\frac{(P-O)^2}{O}$$ |\n",
    "| --- | --- | --- | --- |\n",
    "| Hořká | $42$ | $40$ | $0,1$ |\n",
    "| Mléčná | $50$ | $40$ | $2,5$ |\n",
    "| Bílá | $28$ | $40$ | $3,6$ |\n",
    "|  | $\\sum 120$ | $\\sum 120$ | $\\sum 6,2$ |"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Hypotézy:**\n",
    "\n",
    "$H_0\\ldots$ četnosti žáků, kteří mají v oblibě jednotlivé čokolády, jsou stejné \n",
    "\n",
    "$H_1\\ldots$ četnosti žáků, kteří mají v oblibě jednotlivé čokolády, jsou různé"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "*Vyhodnocení příkladu:*\n",
    "\n",
    "- Vypočtenou hodnotu $\\chi^2=6,2$ porovnáme s tzv. kritickou hodnotou chí-kvadrát pro $2$ stupně volnosti (v tabulce odpovídá stupeň volnosti počtu řádků, jejichž hodnoty lze libovolně zvolit) a hladinu významnosti $0,05$. Podle tabulek je $\\chi^2_{0,05}(2)=5,991$\n",
    "\n",
    "- Jelikož $6,2 > 5,991$, můžeme nulovou hypotézu zamítnout (s rizikem $5$ %) a přijmout alternativní hypotézu. \n",
    "\n",
    "- Jelikož však $\\chi^2_{0,01}(2)= 9,21 > 6,2$; musíme odmítnout alternativní hypotézu (s rizikem $0,01$) a přijmout nulovou hypotézu"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Interpretace dosažených výsledků**\n",
    "- pokud přijmeme nulovou hypotézu, pak to znamená, že případné rozdíly mezi výsledky lze vysvětlit náhodou \n",
    "\n",
    "- pokud přijmeme alternativní hypotézu, již jsou rozdíly statisticky významné"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "**K vyhodnocení příkladu použijeme například statistické tabulky:**\n",
    "\n",
    "https://is.muni.cz/do/1499/el/estud/prif/ps09/genetika/web/pdf/chi-kvadrat.pdf (v těchto tabulkách je kritická hodnota uvedena přímo pro hladinu významnosti $0,05č)\n",
    "\n",
    "http://statistika.vse.cz/download/materialy/tabulky.pdf (v těchto tabulkách je kritická hodnota pro hladinu významnosti $0,05$ uvede jako $0,95$ kvantil a kritická hodnota pro hladinu významnosti $0,01$ je uvedena jako $0,99$ kvantil) \n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Test nezávislosti chí-kvadrát pro kontingenční tabulku"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Užíváme v případech, kdy rozhodujeme, zda existuje závislost mezi dvěma (pedagogickými jevy) zachycené pomocí nominálního (ordinálního) měření."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "$300$ studentům lékařské fakulty byl dán dotazník obsahující dvě otázky: \n",
    "\n",
    "\"*Chodíte pravidelně (tj. aspoň dvakrát za týden) běhat?*\" \n",
    "\n",
    "A) ANO \n",
    "\n",
    "B) NE \n",
    "\n",
    "\"*Jaký byl Váš studijní průměr v posledním akademickém roce?*\" \n",
    "\n",
    "A) lepší než $1,5$ \n",
    "\n",
    "B) $1,5-2,2$ \n",
    "\n",
    "C) horší než $2,2$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "|  |   | Prospěch | Prospěch | Prospěch| |\n",
    "| --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n",
    "|  |  | lepší než $1,5$ | $1,5$ až $2,2$  | horší než $2,2$ | $\\sum$ |\n",
    "|  Běhání | ANO | $25$ $(22)$ | $75$ $(70)$ | $20$ $(28)$ |  $120$ |\n",
    "| Běhání | NE |  $30$ $(33)$ | $100$ $(105)$ | $50$ $(42)$ | $180$ |\n",
    "|  | $\\sum$| $55$ | $175$ | $70$ | $300$|"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Čísla uváděná vpravo a dole jsou tzv. marginální (okrajové) hodnoty. \n",
    "\n",
    "Čísla v závorce jsou očekávané hodnoty (násobíme odpovídající marginální hodnoty a dělíme celkovým počtem), například\n",
    "\n",
    "$$22=\\frac{55 \\cdot 120}{300}.$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Formulujme nulovou a alternativní hypotézu:**\n",
    "\n",
    "$H_0\\ldots$ mezi četnostmi odpovědí na obě otázky není závislost \n",
    "\n",
    "$H_1\\ldots$ mezi odpověďmi studentů je závislost"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Testové kritérium $\\chi^2$ vypočítáme jako součet hodnot $\\frac{(P-O)^2}{O},$ tj. $0,41+0,35+2,29+0,27+0,24+1,52 = 5,08$. \n",
    "\n",
    "Stupeň volnosti $f = (r-1)\\cdot (s-1)$, kde $r$ je počet řádků a $s$ je počet sloupců, v našem případě $f=(r-1)\\cdot (s-1)=2$. \n",
    "\n",
    "Podle tabulek je $\\chi^2_{0,05}(2)=5,991$. Jelikož $5,08 < 5,991$, nemůžeme nulovou hypotézu na hladině významnosti $0,05$ odmítnout."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Pozor!**\n",
    "\n",
    "Test nezávislosti chí-kvadrát nelze užít v případech, kdy ve více než $20$ % polí kontingenční tabulky jsou očekávané četnosti menší než $5$ a v případě, že v některém poli je očekávaná četnost menší než $1$."
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Octave",
   "language": "octave",
   "name": "octave"
  },
  "language_info": {
   "file_extension": ".m",
   "help_links": [
    {
     "text": "GNU Octave",
     "url": "https://www.gnu.org/software/octave/support.html"
    },
    {
     "text": "Octave Kernel",
     "url": "https://github.com/Calysto/octave_kernel"
    },
    {
     "text": "MetaKernel Magics",
     "url": "https://metakernel.readthedocs.io/en/latest/source/README.html"
    }
   ],
   "mimetype": "text/x-octave",
   "name": "octave",
   "version": "7.0.0"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}