{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Kapitola 3 - Náhodná veličina" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Nechť $Z$ je prostor elementárních jevů. Náhodná veličina je funkce, která každému $z\\in Z$ přiřazuje právě jedno reálné číslo $X(z)=x$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Druhy náhodných veličin" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Podle toho, jakých hodnot náhodné veličiny nabývají, dělíme náhodné veličiny na \n", "\n", "1. diskrétní \n", "\n", "2. spojité \n", "\n", "Již víme, že pravidlo přiřazující každé hodnotě náhodné veličiny pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty, nazýváme **zákon rozdělení**. \n", "\n", "Poznali jsme již binomické a hypergeometrické rozdělení. Uvedeme nyní další typické." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Klasické rozdělení" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Náhodná veličina $X$ má klasické rozdělení s parametrem $n\\in N$, jestliže\n", "\n", "$$P(X=x)=\\frac{1}{n}$$\n", "\n", "pro $x = 1,2, \\ldots , n$. \n", "\n", "Tuto náhodnou veličinu přiřazujeme pokusu, který má konečný počet $n$ stejně možných výsledků (například hod ideální kostkou)." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Alternativní rozdělení" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Náhodná veličina $X$ má alternativní rozdělení s parametrem $p$, jestliže \n", "\n", "$$P(X=x)=p^x \\cdot (1-p)^{1-x}, \\quad x=0,1$$\n", "\n", "Tedy \n", "$$P(X=0)=1-p,\\quad P(X=1)=p.$$\n", "\n", "Alternativní rozdělení je speciálním případem binomického pro $ = 1$. Náhodná veličina nabývá pouze dvou hodnot." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Poissonovo rozdělení" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Náhodná veličina $X$ má **Poissonovo rozdělení** s parametrem $\\lambda > 0$, jestliže \n", "\n", "$$P(X=x)=\\frac{e^{-\\lambda}\\cdot \\lambda^x}{x!},\\quad x=0, 1, \\ldots; \\lambda = n p$$\n", "\n", "V Poissonovo rozdělení přechází binomické rozdělení v případě velkého $n$ a velmi malého $p$. Číslo $\\lambda$ se nazývá očekávaná hodnota." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Geometrické rozdělení" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Náhodná veličina $X$ má geometrické rozdělení s parametrem $0 < p < 1$, jestliže \n", "\n", "$$P(X=x)=p\\cdot (1-p)^x, \\quad x=0, 1, 2, \\ldots$$\n", "\n", "Příkladem náhodné veličiny s geometrickým rozdělením je počet nezávislých pokusů, které předcházejí prvnímu úspěšnému pokusu. Rozdělení se nazývá geometrické, protože pravděpodobnosti tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem $q = 1 -q$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Normální rozdělení" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Náhodná veličina má normální rozdělení s parametry $\\sigma$ a $\\mu$, jestliže \n", "\n", "$$P(X=x)=\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}} \\cdot \\int_{-\\infty}^x e^{- \\frac{(t-\\mu)^2}{2 \\sigma^2}} dt, \\quad x\\in \\mathbb{R}$$\n", "\n", "Na rozdíl od předchozích rozdělení diskrétní náhodné veličiny (tj. binomického, Poissonova, klasického, alternativního, hypergeometrického) je normální rozdělení rozdělením spojité náhodné veličiny." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "K normálnímu rozdělení se blíží binomické rozdělení pro velká $n$ a ne příliš malá $p$. \n", "\n", "Grafem funkce \n", "\n", "$$f(x)=\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2 \\pi}} \\cdot e^{- \\frac{(x-\\mu)^2}{2 \\sigma^2}}$$\n", "\n", "je Gaussova křivka.\n", "\n", "Speciálně pro $\\sigma = 1$ a $\\mu =0$ dostáváme \n", "\n", "$$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} \\cdot e^{- \\frac{x^2}{2 }}$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Graf Gaussovy křivky pro $\\mu=0$ a $\\sigma=1$ (včetně kódu pro GNU/Octave): " ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "metadata": {}, "outputs": [ { "data": { "image/png": "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\n", "text/plain": [ "" ] }, "metadata": {}, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "set(gcf,'Visible','on')\n", "\n", "pkg load statistics\n", "\n", "x=-4:0.1:4;\n", "plot(x,normpdf(x))" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Obecné rozdělení náhodné veličiny" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "V obecném případě můžeme zákon rozdělení znázorňovat tabulkou (pro diskrétní náhodnou veličinu), distribuční funkcí (pro diskrétní i spojitou náhodnou veličinu) a hustotou pravděpodobnosti (pro spojitou náhodnou veličinu)." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Distribuční funkce" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Distribuční funkce je definována na celé množině $\\mathbb{R}$ a každé hodnotě náhodné veličiny $X$ přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší nebo rovno než toto číslo, tj. \n", "\n", "$$F(x)=P(X\\leq x).$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Vlastnosti distribuční funkce" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "a) $0 \\leq F(x) \\leq 1$\n", "\n", "b) $F(x)$ je neklesající funkce \n", "\n", "c) $F(x)$ je spojitá zprava \n", "\n", "d) pro diskrétní náhodnou veličinu $X$ s oborem hodnot $\\lbrace a_1, a_2, \\ldots a_n\\rbrace, kde $a_1 \\leq a_2 \\leq \\ldots \\leq a_n$, platí\n", "\n", "$F(x)=0$ pro $x< a_1$ $\\quad$ $F(x)=1$ pro $x \\geq a_n$\n", "\n", "pro spojitou náhodnou veličinu $X$ s oborem hodnot $(a, b)$ platí \n", "\n", "$F(x)=0$ pro $x\\leq a$ $\\quad$ $F(x)=1$ pro $x \\geq b$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Hustota pravděpodobnosti" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Distribuční funkci $F(x)$ pro spojitou náhodnou veličinu $X$ je možné definovat také pomocí tzv. hustoty pravděpodobnosti $f(x)$ pomocí vztahu \n", "\n", "$$F(x)=\\int_{-\\infty}^x f(t) dt.$$\n", "\n", "V bodech, kde existuje derivace funkce $F(x)$ platí \n", "\n", "\n", "$$F'(x)=f(x).$$\n", "\n", "Dále platí\n", "\n", "$$P(a\\leq x \\leq b)=P(a < x \\leq b)=F(b)-F(a)=\\int_a^b f(x) dx$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "1. $f(x) \\geq 1$\n", "\n", "2. $\\int_{-\\infty}^\\infty f(x) dx = 1$\n", "\n", "3. Jestliže spojitá náhodná veličina může nabýt pouze hodnot z intervalu $(a,b)$, pak \n", "\n", "$$ \\int_a^b f(x) dx=1.$$\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Číselné charakteristiky náhodné veličiny" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Distribuční funkce podává o náhodné veličině úplnou informaci. Někdy však stačí shrnout informaci do několika čísel, tzv. **charakteristik náhodných veličin**. \n", "\n", "Rozlišujeme charakteristiky polohy (střední hodnota, $\\alpha$-kvantil, modus), charakteristiky variability (rozptyl, směrodatná odchylka), charakteristiky šikmosti a špičatosti)." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Střední hodnota – diskrétní veličina" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Pro diskrétní náhodnou veličinu s prostorem hodnot $\\lbrace x_n \\rbrace$ a pravděpodobnostmi $p_n=P(x=x_n)$ definujeme střední hodnotu $E(X)$ vztahem \n", "\n", "$$E(X)=\\sum_n x_n p_n$$ \n", "\n", "(pokud součet vpravo existuje). \n", "\n", "Střední hodnota udává, kolem které hodnoty se koncentrují realizace náhodné veličiny $X$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Střední hodnota – spojitá veličina" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Pro spojitou náhodnou veličinu $X$ s hustotou $f(x)$ definujme střední hodnotu $E(x)$ vztahem \n", "\n", "$$E(X)=\\int_{-\\infty}^\\infty x f(x) dx$$\n", "\n", "(pokud integrál vpravo existuje)." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## $\\alpha$-kvantil náhodné veličiny" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Uvažujme $\\alpha \\in (0,1)$. $\\alpha$-kvantil náhodné veličiny $X$ je takové reálné číslo $x_\\alpha$ , pro které platí \n", "\n", "$P(X\\leq x_\\alpha) \\geq \\alpha$ a současně $P(X\\geq x_\\alpha) \\geq 1-\\alpha$.\n", "\n", "**Vlastnosti:**\n", "- obecně není $\\alpha$-kvantil jednoznačně určen (například u diskrétní náhodné veličiny)\n", "\n", "- je-li distribuční funkce $F$ náhodné veličiny $X$ spojitá a rostoucí všude tam, kde $0 < F(x) <1$, je $\\alpha$-kvantil $x_\\alpha$ jednoznačně určen jako \n", "\n", "$$F(x_\\alpha)=\\alpha$$\n", "\n", "přičemž \n", "\n", "$$P(X\\leq x_\\alpha)=\\alpha \\text{ a }P(X\\geq x_\\alpha)= 1-\\alpha.$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Medián a další významné kvantily" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Medián je $0,5$-kvantil, tj. $x_{0,5}$.\n", "\n", "$x_{0,25}$ je dolní kvartil. \n", "\n", "$x_{0,75}$ je horní kvartil. \n", "\n", "$x_{\\frac{k}{10}}$ pro $k=1, 2, \\ldots, 9$ je tzv. $k$-tý decil.\n", "\n", "$x_{\\frac{k}{100}}$ pro $k=1, 2, \\ldots, 99$ je tzv. $k$-tý percentil." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Modus" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Je-li náhodná veličina $X$ diskrétní, pak modus $\\hat x$ je její nejpravděpodobnější hodnota. \n", "\n", "Je-li náhodná veličina $X$ spojitá, pak modus $\\hat x$ je bod, ve kterém má hustota $f(x)$ lokální maximum." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Rozptyl – diskrétní náhodná veličina" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Pro diskrétní náhodnou veličinu $X$ s prostorem hodnot $\\lbrace x_n \\rbrace$ a pravděpodobnostmi $p_n=P(X=x_n)$ definujeme rozptyl (disperzi) vztahem\n", "\n", "$$D(x)=\\sum_n (x_n-E(X))^2 p_n.$$\n", "\n", "(pokud součet řady vpravo existuje). \n", "\n", "Rozptyl charakterizuje rozptýlení náhodné veličiny kolem střední hodnoty." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Rozptyl – spojitá náhodná veličina" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Pro spojitou náhodnou veličinu $X$ s hustotou $f(x)$ definujeme rozptyl (disperzi) vztahem\n", "\n", "$$D(X)=\\int _ {-\\infty}^\\infty (x-E(x))^2 f(x) dx.$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Rozptyl - vlastnosti" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Lze ukázat, že platí (pro diskrétní i spojitou náhodnou veličinu): \n", "\n", "\n", "$$D(x)=E(X^2)-(E(X))^2$$\n", "\n", "Rozptyl patří mezi charakteristiky variability. Pokud chceme, aby charakteristika variability měla stejný rozměr jako střední hodnota, používáme druhou odmocninu rozptylu, kterou nazveme **směrodatnou odchylkou**\n", "\n", "$$\\sigma(X)=\\sqrt{(D(X))}.$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## Normální rozdělení - určení pravděpodobnosti" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Budeme se snažit upravit výraz \n", "\n", "$$P(a\\leq x \\leq b)=P(a